一文搞懂滤波器上的波形与相位变化

前言

滤波器广泛用于放大器、振荡器，为电路提供所需的频率信号。

无源滤波器使用 L-R 或 C-R 就可以构成，区别是 L-R 与 C-R 的位置会发生对换：

本文以左下角的“CR高通滤波器”为例，从阻抗角度分析，帮助理解滤波器如何工作。

滤波器如何工作？

将“CR高通滤波器”的电路重新绘制如下，旁边标注电容的阻抗公式与曲线：

从阻抗角度，电阻在任何频率下阻值都是恒定的，但是电容对电流的阻碍，即容抗 Xc，与信号频率呈倒数关系，在信号低频时比在高频时阻值更大。

电阻 R 上的电压作为输出信号，基于分压原理：

• 在信号低频时，Xc 相对 R 较大， R 的电压份额小于 C 的份额，信号发生衰减。

• 在信号高频时，Xc 相对 R 较小， R 的电压份额大于 C 的份额，信号可以通过。

如果信号由低频向高频逐渐变化，其中有一个截止频率，对应是输出信号为峰值（全部通过）时候的 0.707 倍，即 -3dB 衰减的时候：

上述是基于阻抗大小的定性描述，我们下面举一个带有参数的例子，具体计算并看下滤波器的波形。

滤波器的波形

用everycircuit构建电路如下，everycircuit具有电路仿真功能，这种软件很多，但我觉得everycircuit使用起来比较简单：

图中，电容 C 是100nF，电阻 R 是1.5kΩ；信号源是1kHz、2Vpp的正弦信号（Vpp指峰峰值）；带有V字的圆圈是电压示波器，后续可以显示波形。

先计算一下电路的截至频率：

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Freq-cutoff = 1/(2πRC) = 1/(2*3.14*1500*100÷10^9) = 1061.57Hz

截至频率是1061.57Hz，信号源 1KHz 与之较为接近。

那么，在信号源 1KHz 的激励下，R 上的电压是多少？有没有图3所说的 0.707 倍（-3dB）衰减呢？

我们来计算一下 R 上的电压，采用分压原理，你看看是否是按以下公式来计算？

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Vr = Vs * R / (R + Xc) ------> 这是错误的！

这个公式是错误的，因为只能纯电阻的电路中使用。在有电容、电感的电路中，电压与电流相位不同，所以不能直接使用。

我们知道电容会使电压与电流发生90°相位变化，那么对于有 Xc 的情况，首先应计算电路阻抗，R 作为阻抗的实部， Xc 作为阻抗的虚部，得到阻抗的大小（模），然后再计算分压。关于这部分原理可以看一下前文《一个单词，帮助记忆电感、电容上V和I的相位关系》。

计算电路阻抗的大小：

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Xc = 1/(2πfC) = 1 / (2*3.14*1000*100 / 10^9) = 1591.5Ω
Z = (R^2 + Xc^2)^(1/2) = (1500^2 + 1591.5^2)^(1/2) = 2187Ω

然后计算 C、R 上的分压：

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Vc = Xc / Z * Vs = 1591.5 / 2187 * 2 = 1.45V
Vr = R / Z * Vs = 1500 / 2187 * 2 = 1.37V

至此，我们计算了 C、R 上的电压，两者都是峰峰值。

与信号源 2Vpp 的正弦信号对比一下，发现什么？

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Vr / Vs = 1.37 / 2 = 0.685 ≈ -3.2dB

前面提到，信号源（1KHz）与截至频率（1061.57Hz）较为接近，所以对于这个信号，衰减 0.685 倍（-3.2dB） 与截止频率的 0.707 倍（-3dB），理应也较为接近。

但是有个问题：C、R 上的电压，两者相加竟然大于信号源 2Vpp ，有这种可能性吗？

我们来看下波形：

图中，橘色代表信号源电压波形，蓝色代表电容电压波形，绿色代表电阻电压波形。

有没有看到：电容电压峰值与电阻电压峰值，并没有出现在同一时刻。电容电压与电阻电压相加，总是等于信号源电压，并不会大于信号源电压。

我们来看下GIF动画：

那么，这个电路里的电流波形是什么样的？

其实因为在电阻上电压与电流没有相位变化，用电阻上的电压除以电阻（U / R），即是电流。又因为整个电路是串联而成，电阻上的电流就是整个电路的电流。所以，电流的波形与绿色代表的电阻电压波形一致，只是幅度缩小 R 倍。

滤波器的相位变化

从图5、图6中已初步看出了各个器件的相位关系，我们深入分析一下，加深理解。

因为是串联电路，以电流作为基准，电阻上的电流、电压相位一致；电容上的电流与电压相位差异90°（电压滞后）。如果用阻抗向量三角形表示，电压有方向、有幅度，通过矢量相加得到信号源电压，绘制如下：

对于信号源，其电压与电流的相位差计算如下：

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Angle θ = tan-1 (Vc / Vr) = tan-1 (1.45 / 1.37) = 46.6°

所以在这个例子中，信号源的电压波形，在相位上滞后电流波形 46.6°。

当然，这是信号源 1KHz 的情况，这个频率正好与截止频率比较接近。那么，如果信号源频率更小，或者频率更高，会怎么样？

举例图示如下：

可以看到：

• 不同频率下，信号源电压幅度恒定，但电路阻抗不同，因此电流幅度（蓝色）有差异。
• 不同频率下，以电流相位为基准，信号源电压与电流的相位会有差异。
• 在频率较低时，电路阻抗较大，电流较小，R 作为信号输出电压较小。
• 在频率较高时，电路阻抗较小，电流较大，R 作为信号输出电压较大。
• 在截止频率上，R 与 C 阻值近似，信号源电压与电流的相位相差45°。

最后，我们将信号频率对应幅度增益（衰减）、相位的变化曲线绘制出来，得到高通滤波器的频率响应如下：

同样，对于低通滤波器，也有类似的频率响应，在此不再赘述。

小结

本文从阻抗角度出发，分析在特定频率的信号下，滤波器的波形与相位，得出了滤波器的频率响应。

这是基本的 CR 无源滤波器，还有更复杂的多阶、有源滤波器，有待后续再聊。

参考资料

参考资料，主要来自：

• http://www.learnabout-electronics.org/ac_theory/
• https://www.electronics-tutorials.ws/filter/filter_3.html
• https://everycircuit.com/app
• https://sengpielaudio.com/calculator-gainloss.htm

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