什么是滤波器的极点和零点？

前言

零点和极点，是滤波器发生状态转换的频率，它们可以从“频率响应”中看出。

我们先说一下波特图，因为波特图是“频率响应”的一种表示方式，然后在波特图上找找看零点和极点的位置。

波特图（Bode plot），描述了滤波器对不同频率输入信号的输出响应，包含增益或衰减图（Gain）和相移图（Phase shift），采用对数刻度绘制，让增益、相移变化更加突显，因此使得滤波器分析变得简单。

以下展示一个低通滤波器的波特图：

横坐标的“频率”，因为是对数刻度，以“10”为倍数增加。

纵坐标的“增益”，单位是分贝 (dB) ，有几个看点：

简单无源滤波器，可以分为通带（Pass band）与阻带（Stop band）两个区域。
在通带，信号以全部幅度通过，线性增益最大是 1 倍，对应分贝是 0dB。
在阻带，信号不能以全部幅度通过，也就是有衰减，线性增益小于 1 倍，对应分贝数是负数。
截止频率（Cutoff）是通带与阻带发生变化的点。
从截止频率开始，增益下降（衰减）非常线性，每 10 倍频率下降 20dB （20dB / Decade），等同于每 2 倍频率下降 6dB （6dB / Octave）。
增益下降到 -30dB、-40dB就已经很小了，之后可以忽略不计。

波特图中，增益由一条水平线和一条斜线组成，这是对滤波器的近似，如果放大来看截止频率处的区域，会看到实际的增益曲线在通带和阻带之间有平滑过渡，在截止频率处的增益为 -3dB：

对于增益下降（衰减）来说，-3dB、-6dB、-20dB、-30dB、-40dB，分别等于线性的 0.7、0.5、0.1、0.03、0.01 倍：

再回到图1，看一下纵坐标的“相位”。相位曲线虽不以线性变化，但也有规律：

RC 滤波器的相位变化，在 0 到 90° 之间。
从截止频率的 1/10 倍处开始有相位变化，截止频率相移是45°，在截止频率的 10 倍处变化完成，相移是90°。也就是每隔 10 倍频率发生 45° 的相位变化。

对于 RC 低通滤波器，因为输出信号在电容 C 上测量，输出信号（电压）在相位滞后于输入信号。如果输入信号是截止频率的 10 倍时，则输出信号（电压）滞后输入电压信号 90°。详情可以看一下前文《一文搞懂滤波器上的波形与相位变化》和《一个单词，帮助记忆电感、电容上V和I的相位关系》。

在了解波特图后，看极点和零点就比较容易。

在波特图上，极点就是增益开始以 20dB / Decade 下降的点。对于低通滤波器，极点就是其截止频率：

图中的 Fp 即为极点（Pole），左边附有计算公式。

正如低通滤波器具有“极点”，高通滤波器具有“零点”。在此频率之前，滤波器会衰减输入信号，在此频率之后，衰减以 20dB / Decade 的速度减小，在波特图上开始表现为水平线：

图中的 Fz 即为零点（Zero），左边附有计算公式，同样为滤波器的截止频率。

以上低通、高通滤波器只有一个极点或零点，因为只有一个 R 和 C，所以称为一阶滤波器。

如果有多个 R 和 C，那就形成了多阶滤波器，也就是有多个极点或零点。每多一个极点或零点，都会改变增益和相位。对于增益曲线，就是发生 ±20dB / Decade 的转变；对于相位曲线，就是 10 倍频率后发生 90° 相移。

我们来看几个例子：

首先是二阶低通滤波器，在 RC 低通滤波器之后，又跟了一个 RC 低通滤波器，第二个极点大于第一个极点，因此在第二个极点之后，增益下降（衰减）更快：

比如上图中，第一个极点处的增益斜率是 20dB / Decade（图中 slope = -1 部分），则第二个极点处的增益斜率是 40dB / Decade（图中 slope = -2 部分）。

然后是二阶带通滤波器，由一个低通滤波器加上一个高通滤波器组成，极点的位置大于零点，图示如下：

比如上图中，零点处的增益开始变得水平（零点之前是图中 slope = +1 部分），极点处的增益开始下降（图中 slope = -1 部分）。

以上两个表现的是增益变化情况，再看二阶带阻滤波器的波特图：

注意看上图中，极点和零点区域标注的相位变化方式。

本文从波特图角度，介绍极点和零点。

很多运算放大器的规格书上也经常出现“极点”和“零点”，这是因为当放大器的内部电容不能忽略、或者外部有电容时，构成滤波器电路，希望阅读本文也可以有助于对放大器的理解。

极点和零点，在数学上有明确的定义，有兴趣可以了解一下转移函数（Transfer function）。等我们介绍数字信号处理的时候再做展开。

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