前言

Delta-Sigma ADC ，也有称为 Sigma-Delta ADC、ΔΣ ADC、ΣΔ ADC。

Delta-Sigma ADC 的应用非常广泛，特别是对于低频、高分辨率的信号处理场景，我们可能在不经意之间就使用到了 Delta-Sigma ADC，比如音频 Codec、生理监测、环境/过程控制，还有树莓派扩展板 “ADC Pi” 中的 MCP3424 也是一颗 Delta-Sigma ADC。

然而，相比于 SAR ADC， Delta-Sigma ADC 的工作原理有点令人费解，今天就尝试为大家介绍一下。

Delta-Sigma ADC 框图

在 TI 的应用笔记 “How delta-sigma ADCs work, Part 1” （详见参考资料 [1]）中给出了这类 ADC 的框图：

图1 Delta-Sigma ADC 框图，来源 [1]

图1 Delta-Sigma ADC 框图，来源 [1]

它由两部分组成，ΔΣ 调制器 与 数字/抽取滤波器：

  • ΔΣ 调制器：是一种调制器，将模拟信号调制成频率很高的 1 bit 数字信号，很多芯片手册里提到的 过采样（Oversampling）和 噪声整形（Noise shaping）就发生在这里。
  • 数字/抽取滤波器：数字滤波器是为了去除目标信号以外的频谱成份，而抽取滤波器是为了将输出数据降低到合适的速率。

我们在此主要看 ΔΣ 调制器，因为它是这类 ADC 的基础。

ΔΣ 调制器

在 TI 文中提供了“1 bit 一阶 ΔΣ 调制器”的示意图，它由微分器（Difference Amplifier）、积分器（Integrator）、比较器（Comparator）、DAC 组成：

图2 一阶 ΔΣ 调制器，来源 [1]

图2 一阶 ΔΣ 调制器，来源 [1]

其中：

  • 对于 1 bit 的 ΔΣ 调制器，每次量化结果只有二进制 “1” 或 “0” 的 1 bit；
  • DAC 也是 1 bit ，量化结果经 DAC 反馈到输入端，与输入信号相减，两者之差就是量化误差，体现的是 “Delta” 的部分；
  • 积分器累积量化误差，因为是一阶的，只记录过去 1 个延时单位，累积后送到比较器，体现的是 “Sigma” 的部分；
  • 比较器相当于 1 bit 的 ADC，如果量化误差大于参考值，输出二进制的 “1” ，反之输出二进制的 “0” 。

这套系统以高频时钟运作，多次的量化结果输出一连串的二进制码流，每个码的速率是固定的。

时域表示

我发现在 ADI 的一个在线教程中（详见参考资料 [2]），提供了上述系统运作的单步骤运作演示，你可以打开网页尝试一下，一步步点击“Next Step”查看结果，如下是 Vin = 1.0V 的例子截图：

图3 ΔΣ 调制器 单步骤演示，来源 [2]

图3 ΔΣ 调制器 单步骤演示，来源 [2]

图中，DAC 的参考电压 Vref = 2.5V，当量化结果为 “1” 时，DAC = 2.5V；当量化结果为 “0” 时，DAC = -2.5V；这意味着输入信号的幅度范围可以是 -2.5V 至 +2.5V（ +/- Vref ）。

此时，对于输入信号 Vin = 1.0V ，显示了前 30 个量化结果，分别为：1、0、1、1、1、0、1、1、0、1、1、0、1、1、1、0、1、1、0、1、1、0、1、1、1、0、1、1、0、1。

那么，这些量化结果是如何表示 Vin 呢？

重点来了，是用密度。在上述 30 个量化结果中有 21 个 “1”，说明输入信号是满量程的 21/30 = 70%，即：-2.5 + ( 2.5 *2 ) * 70% = 1V 。注意，是从底部 -Vref 开始算起的。

又因为是纯粹数字化的步骤运算，很容易用 Excel 表格来模拟，比如以下是我用 Excel 模拟上述 Vin = 1.0V 的例子，前 30 个输出结果（Camparator Out 列）与网页是一致的，右侧的波形图分别是 Vin （蓝色波形）和 DAC 输出（橙色波形），并且，Excel 下侧的状态栏显示 Average 是 0.7 （字比较小）：

图4 Excel 模拟 ΔΣ 调制器过程，输入为直流信号

图4 Excel 模拟 ΔΣ 调制器过程，输入为直流信号

那么，如果将 Vin 改为正弦波，会得到怎么样的结果？

再次用 Excel 表格模拟如下，右侧波形图分别是 Vin （蓝色波形）和 DAC 输出（橙色波形）：

图5 Excel 模拟 ΔΣ 调制器过程，输入为正弦信号

图5 Excel 模拟 ΔΣ 调制器过程，输入为正弦信号

可以看出，对于 1 bit 一阶 ΔΣ 调制器，它就像是 脉冲密度调制 PDM（Pulse Density Modulation），在输入信号的幅度越接近 +Vref 时，用越多 “1” 表示，在输入信号的幅度越接近 -Vref 时，用越多 “0” 表示。

WiKi百科上还列举了 这种“1 bit 一阶 ΔΣ 调制器” 的公式，推算出图2 中 Yi 与 Xi 的关系，以及 Python 代码实现，有兴趣可以参阅（详见参考资料 [3]）。

频域表示

回到 TI 的文章（详见参考资料 [1]）中，后续讲述的是这套 ΔΣ 调制器系统的频谱特性，它能将量化噪声的频谱成分推向高频区域：

图6 ΔΣ 调制器系统的频谱特性，来源 [1]

图6 ΔΣ 调制器的频谱特性，来源 [1]

并阐述了不同阶数情况下的转移函数，以及对应的频谱特性：

图7 ΔΣ 调制器不同阶数的频谱特性，来源 [1]

图7 ΔΣ 调制器不同阶数的频谱特性，来源 [1]

可以看到阶数越大（与过往更多数据有关），量化噪声越集中于高频区域，这就是所谓的噪声整形 Noise shaping。经过后续滤波，能过滤除噪声，有利于目标信号频谱区域内的信噪比。

小结

本文介绍了 Delta-Sigma ADC 中的 ΔΣ 调制器，通过 ADI 的在线演示（参考资料 [2]）或自行编写 Excel 能够模拟 “1 bit 一阶 ΔΣ 调制器” 的运作过程，对于这种调制器，其量化结果与 PDM 脉冲密度调制 类似（参考资料 [3]）。

关于 Delta-Sigma ADC 的详细介绍，可以查看 TI 的 slyt423a 和 slyt438（参考资料 [1] 和 [4]），其中讲述了过采样、噪声整形、数字/抽样滤波等内容。

参考资料

参考资料均可以通过搜索关键词获取，查阅原文：

  1. slyt423a: How delta-sigma ADCs work, Part 1
  2. https://www.analog.com/en/resources/interactive-design-tools/sigma-delta-adc-tutorial.html
  3. https://en.wikipedia.org/wiki/Pulse-density_modulation
  4. slyt438: How delta-sigma ADCs work, Part 2

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