什是混叠现象？

根据采样定理，ADC 的采样率至少是目标信号最大频率的 2 倍。换句话说，假设 ADC 的采样率已经确定，那么对于输入信号，其频率应该小于采样率的 1/2 倍。

我们虽然可以预设目标信号的频率范围，并推理出合适的采样率。但 ADC 的输入不光有目标信号，还有噪声，如果噪声中频率成份高于采样率的 1/2 倍，就会造成“混叠”（Aliasing），并影响 ADC 的结果。

在 TI 的文章 [1] 中举了一个例子，ADC 的采样率是 7 SPS（Samples Per Second），目标信号是 1 Hz。系统中还有两个噪声，分别是 6 Hz 和 8 Hz 的噪声信号，由于频率超过了 1/2 倍的采样率，即 3.5 Hz，所以会发生混叠。

混叠可以在时域、频域中看到：

在时域中，ADC 采样的值，正好在 1 Hz、 6 Hz 、 8 Hz 三个波形的交点上：

图1 从时域看 ADC 混叠，来源[1]

图1 从时域看 ADC 混叠，来源[1]

在频域中，如果对 FFT 有所了解，则更容易看清：所有大于 1/2 倍采样率的频率都会“折叠”（Fold）回第 1 个奈奎斯特区域。在 7 SPS 的采样率下，频率分量 1 Hz、6 Hz、8 Hz 正好重叠在一起：

图2 从频域看 ADC 混叠，来源[1]

图2 从频域看 ADC 混叠，来源[1]，做过注释

上图中，我在 TI 的原图上做了一些注释，指明了奈奎斯特频率（即 1/2 倍的采样率）和奈奎斯特区域。

抗混叠滤波器

要避免混叠，最直接的就是在 ADC 之前添加了一个低通滤波器，这种滤波器就称为抗混叠滤波器（Anti-Aliasing Filter）。

和所有的滤波器一样，理想中我们想把 1/2 倍采样率以上的频率全部滤除，这样就不会发生混叠。但实际的滤波器具有转移带（Transition Band）：

图3 抗混叠滤波器的理想状态和实际状况，来源[2]

图3 抗混叠滤波器的理想状态和实际状况，来源[2]

参考资料[2] 中列举了四个不同频率的信号，分别是 F1、F2、F3、F4 在经过抗混叠滤波器后的形态，其中滤波器的增益曲线在图中用虚线表示：

图4 四个信号经过抗混叠滤波器后的形态，来源[2]

图4 四个信号经过抗混叠滤波器后的形态，来源[2]

这个图中有几个看点：

  • 滤波器模拟了实际的过渡带；
  • 滤波器的增益拐点 Fcut-off ，即 -3dB 截止频率，在 1/2 Fs 之前；
  • 滤波器的过渡带中包含了 F2、F3，因 F3 大于 F2，经滤波后，F3 的衰减更大；
  • F3 经 ADC 后发生混叠，混叠的 F3 落在奈奎斯特第 1 区域，位置在 F2 之前；
  • F4 在过渡带以外，一般衰减已经达到 60dB 甚至更多，幅值很小，可以忽略；

对于滤波器的过渡带，肯定希望越短越好。比如我记得蓝牙免提协议（Hands-Free Protocol）里有一种模式的语音采样率只有 8 KHz，意味着语音信号理论上最大只支持 4 KHz。如果滤波器过渡带很宽，则滤波器的 Fcut-off 要在 1/2 Fs 往前很多。本来 1/2 Fs 就只有 4 KHz， Fcut-off 再往前，那么支持的语音频率就更小了。

而对于滤波器的增益衰减，还要看 ADC 的 SNR，如果 ADC 本身的性能不怎么样，比如 ADC 的位数较少，那么费劲让滤波器衰减很多也没有意义。

参考资料[3] 中展示了高质量音频采样中，带有抗混叠滤波器 和 不带有抗混叠滤波器的差异。对于语音信号，如果发生了混叠，会听到一些额外的噪音，尤其是在“s”和“z”等字符的周围，有兴趣的可以去听一下。

开关电容滤波器

滤波器有多种做法，比如被动的 RC 、主动的包含运放，还有一种称为“开关电容滤波器”（Switched-Capacitor Filter），也许很适合作为抗混叠的用途。

开关电容滤波器，提供了多阶滤波的特性，增益衰减很快，阻带抑制也很大，而且可以通过外部时钟来控制截止频率，使用起来比被动或主动滤波器简单很多。

比如，ADI 的 MAX740x 就是一个 8 阶滤波器，截止频率 10 KHz 以下可调，我们看到它的简介和增益衰减曲线如下所示：

图5 MAX740x，来源[4]

图5 MAX740x，来源[4]

这类滤波器有一个指标 “Transition Ratio”，指 Fstop（阻带频率） 与 Fcutoff（截止频率）的比值。比如， MAX7400/MAX7404 具有 82dB 的阻带抑制， Transition Ratio 为 1.5；MAX7403/MAX7407 具有 60dB 的阻带抑制， Transition Ratio 只有1.2，说明过渡带很小。

我们之前在“波特图”的文章中介绍过被动的 RC 滤波器，对于一阶 RC，波特图上增益衰减是 20dB / dec，要获得同样 60dB 的阻带抑制，如果截止频率是 4 KHz，则阻带频率大概在 4 MHz。而 MAX7403/MAX7407 只需 4 KHz * 1.2 = 4.8 KHz。

在参考资料[5] TI 的应用笔记 “A Basic Introduction to Filters—Active, Passive, and Switched-Capacitor” 中，详细介绍了这几类滤波器的特性，有兴趣可以查阅详情。

参考资料

参考资料均可以通过搜索关键词获取，查阅原文：

  1. https://e2e.ti.com/blogs_/archives/b/precisionhub/posts/aliasing-in-adcs-not-all-signals-are-what-they-appear-to-be
  2. https://www.ni.com/en/shop/data-acquisition/measurement-fundamentals/analog-fundamentals/anti-aliasing-filters-and-their-usage-explained.html
  3. https://dspillustrations.com/pages/posts/misc/aliasing-and-anti-aliasing-filter.html
  4. ADI MAX740x Datasheet
  5. TI snoa224a: A Basic Introduction to Filters—Active, Passive, and Switched-Capacitor

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