如何理解 Sigma-Delta ADC 中的“抽取”和“滤波”？

前言

上回我们讲到了 Sigma-Delta ADC 的前半部分，即，Sigma-Delta 调制器将模拟信号变成了高速 1-bit 码流，并且做了量化噪声的整形。

今天我们继续讲 Sigma-Delta ADC 的后半部分，即，数字滤波器，它起到两个作用：

第一，将高速 1-bit 码流，输出为低速、高分辨率的数据，如 12 至 24 bit ，这个过程称为 “抽取（Decimation）”。
第二，噪声整形之后，量化噪声更集中在高频区域，要去除这部分噪声，这个过程称为 “滤波（Filter）”。

本篇内容综合了 ST、TI、ADI 的公开资料，按惯例声明一下：我的解释不一定是对的，还可能存在错误，有时我自己也不知道在说什么。所以仅供参考，欢迎讨论。

简单的“抽取”

“抽取” 的意思是指：由每 N 个输入，生成 1 个输出。

这可能会让人想起一种简单的办法 —— 滑动平均（Moving Average），它的示意图如下。只是对于 Sigma-Delta ADC 来说，它的输入是 0b 或 1b 的 1-bit 码流：

在 DSP 中，我们用冲击响应（Impulse Response）及频谱表示窗口函数。对于 Moving Average 来说是这样的：

注意看：Moving Average 的冲击响应是一组脉冲，时域上呈现为矩形波形。而其频谱看上去起起伏伏的，这种波形是 Sinc 函数，数学上用 Sinc(x) = Sin(x)/x 表示。

我们无意深入 DSP 的理论，只需要知道这种窗口函数称为 “Sinc Filter”，可以作为 Sigma-Delta ADC 中简单而实用的数字滤波器。

下面让我们来了解一下 Sinc Filter 在 ADC 中的工作性质。

Sinc 滤波器的时域特性

Sinc Filter 有 2 个参数可以调节：

Filter Length：指参与 Moving Average 的样本数量，即，窗口的长度。对于 1-bit 码流的输入，越长的窗口，能转换成更高的分辨率，同时，输出数据的速率也会降低。
Filter Order：指滤波器的阶数，Moving Average 可以应用于已经平均过的数据，每再次应用，就增加 1 阶，也称为“级联”（Cascading）。

一般来说，滤波器阶数的区别，可以从其频谱中看出。不过 ST 的应用笔记 AN4990 （见参考资料[2]）中举了一个时域的例子，看出更高阶的 Sinc Filter 能做到更精准的输出。我觉得讲的蛮好的，摘录如下。

ST AN4990 例子：有 3 个窗口长度为 10 的 Sinc Filter，阶数分别是 1 阶、2 阶、3 阶。分别测试两种 1-bit 码流作为输入的情况：

第 1 种码流：由完全等间距的脉冲构成，脉冲正好发生在窗口长度上，也就是时间轴横坐标 10、20、30 的位置。
第 2 种码流：也是由若干个脉冲组成，但脉冲发生在时间轴横坐标 10、19、29 的位置。这是为了模拟密度更高的码流。你记得吗？Sigma-Delta 调制器就是基于 PDM （脉冲密度调制）的原理。

先来看对于第 1 种码流，三种阶数滤波器的输出情况：

ST 文中，输出数据就发生在每个窗口长度的位置。可以看到：

1 阶 Sinc 在横坐标10、20、30 的位置，输出都是 1（图中绿色虚线）。
2 阶 Sinc 在横坐标 20、30 的位置是 1（图中粉色虚线）
3 阶 Sinc 在横坐标 30 的位置才是 1（图中粉色实线），这个合理，因为滤波算法执行了 3 次。

注意，此时这个输出的 “1” 已经是十进制数值。

再来看对于第 2 种密度更高的码流，三种阶数滤波器的输出情况：

可以看到：

1 阶 Sinc 在横坐标10、20、30 的位置仍然都是 1，这是不对的，因为第 2 种码流的密度更高，理应代表更大的模拟输入信号。
2 阶 Sinc 在横坐标 20 的位置比第 1 种码流的数值更大，但在横坐标 30 的位置又恢复到了 1。
3阶 Sinc 在横坐标 30 的位置输出 1.08，这才是合理的。

总之，虽然是同样的 OSR （Over-Sampling Ratio）和分辨率，3 阶 Sinc 输出更平滑、更精确，代价是 A/D 输出的延迟（Latency）更长。

Sinc 滤波器的频域特性

让我们来看一下 Sinc Filter 的频域特性。

在 TI 的应用笔记 SBAA230A （见参考资料[3]）中，给出了整形后量化噪声与 Sinc Filter 频谱（增益/衰减用绝对值和dB表示，无相位信息）的对比图示如下：

看点如下：

量化噪声为红线， Sinc Filter 频谱为黑线。
Sinc Filter 的通带：衰减很快，在非常低的频率增益就开始下降，马上就达到了 -20dB，因为通带窄，所以只适合低频信号的量测。
Sinc Filter 的阻带：往高频区域有下降趋势，并且有周期性陷波（Notch），出现的位置是在倍数的输出数据速率（Data Rate）上。

如果你觉得这个 Sinc Filter 勉强是个低通滤波器，可以滤除整形后的量化噪声的话，但图中其实是一个 5 阶 Sinc。

我们再来看一下 1 阶、3 阶、5 阶 Sinc，它们的频谱对比如下：

可以看到：1 阶 Sinc 的阻带衰减非常差，5 阶 Sinc 好很多，代价是 5 阶的通带也更窄，而且有很长的 Latency 。所以，为了折衷，3 阶 Sinc 用的比较多。

硬件实现 —— CIC 滤波器

既然 Sinc Filter 在频谱上与理想低通滤波器差距很大，为什么还能得到广泛使用？

原因就是它实现起来非常简单。

从 Moving Average 的算法来看，构建一个硬件框图如下：

这是一个 4 窗口长度的 Moving Average 示例，窗口内的样本经过移位（1/4），最多 3 次 Delay，最后进行相加。

为简单起见，上图画的是一个 4 输入的加法器，但这不太现实，因为加法器通常是 2 输入的。后来，人们发明了一种 Integrator Comb 的硬件结构，用的就是 2 输入的加减法，能够等效完成上述 Moving Average：

如果把这种结构级联起来，就形成了高阶的 Sinc Filter，由其硬件特性，也称为 Cascaded Integrator Comb Filter（级联-积分器-梳状滤波器），即 CIC Filter，网上有很多它的 FPGA 代码。

整个实现过程没有用到乘法器，所以是一个非常大的成本优势，意味着它将占用更少的 Die Size 和消耗更少的电量。

这就是为什么在低速 Sigma-Delta ADC 中总能看到 Sinc Filter 或 CIC Filter 的身影：

比如，图中 ADS124X 提供 3 阶 Sinc Filter，ADS126X 提供 5 阶 Sinc Filter。

希望未来看 datasheet 时，对这部分概念能驾轻就熟。

总结

本文从抽取（Decimation）讲到 Moving Average，再由 Moving Average 讲到 Sinc Filter，其硬件实现叫做 CIC Filter。

根据 Sinc Filter 频谱通带窄、硬件成本低的特点，通常用于从数十到几千 Hz 的低频输入，对应如温度、压力、人体生理等缓慢变化的传感器应用。

参考资料

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