探秘！有限冲激响应（FIR）数字滤波器竟如此通俗易懂！

1. 前言

数字滤波器凭借高精度、稳定性、灵活编程等特点，在通信、音频、图像等领域得到了广泛应用。

今天，我们将探索一下数字滤波器的理论基础，运用 Python（SciPy 库）构建一个常见类型的滤波器 —— FIR 滤波器。希望借此让大家了解数字滤波器这一强大工具，开启信号处理的全新旅程。

2. 数字滤波器简介

滤波器的核心作用是对信号的频率成分进行筛选和阻挡。接下来，我们将从滤波器的频率响应、时域（冲激响应）、运算（卷积）以及硬件实现等方面展开介绍。

2.1 频率响应

滤波器对不同频率的响应可以划分为通带、过渡带和阻带，典型情况如下：

一些重点关注的指标有：

• 通带（Passband）：在此区域内，信号的频率成分基本无变化通过。
• 阻带（Stopband）：在此区域内，信号频率成分会遭受大幅度衰减。
• 过渡带（Transition band）：位于通带与阻带之间，信号的频率成分会有一定程度的衰减，但不会被大幅剔除。
• 纹波（Ripple）：描述滤波器在频带内增益的波动情况。纹波越小，说明滤波器的响应越稳定，也就越符合理想要求。
• 相位（Phase）：输入信号经过滤波器后会产生相位变化。在线性相位滤波器中，所有频率的信号都会经历同样的相位变化。

一般而言，纹波与过渡带之间存在着权衡关系。即纹波越小，过渡带就越大；反之，纹波越大，过渡带则越小。因此，在设计滤波器时需要折中考虑。

2.2 冲激/阶跃响应

滤波器在时域上也有表征，称为 “冲激响应”（Impulse Response）。之所以这样命名，是因为当我们将一个脉冲信号输入到滤波器时，观察到的时域输出信号就是 “冲激响应” 的样子。

此外，我们还经常会看到 “阶跃响应”（Step Response），它是指当输入为阶跃信号时，时域输出信号的形态。阶跃响应是冲激响应的累加之和，反映了滤波器从初始到稳定的变化，有点类似于设备的开关机过程。

下图展示的是图 1 所示滤波器的冲激响应与阶跃响应：

冲激响应分为有限和无限两种，具有有限冲激响应的是 FIR (Finite Impulse Response) 滤波器，具有无限冲激响应的是 IIR (Infinite Impulse Response) 滤波器。

本文重点关注 FIR 滤波器，其冲激响应中的每个脉冲称为 “抽头”（Tap）。例如，上图所示的是一个约 100 抽头的 FIR 滤波器。一旦确定了抽头系数，DSP 程序就可以做相应的运算了（见下文）。

2.3 卷积运算

之所以提及 “冲激响应”，是因为对信号进行滤波时，只需将冲激响应与信号进行 “卷积”（Convolution）即可。当然，也可以通过频域 “乘法” 实现滤波，从结果看，两者是等价的。只不过在实际应用中，需要从成本、效率等方面考量，选择更优的方式。

“卷积” 这个词听起来有些抽象，实际计算过程上并不复杂。它是将一个信号在另一个信号上进行滑动，然后将对应位置的元素相乘并累加，最终得到一个新的信号，在数学上通常用 “*” 符号表示：

由于卷积具有滑动特性，其输出信号长度比输入信号更长。举例来说，如果冲激响应长度 K 点，输入信号长度 N 点，那么二者卷积后会产生 N + K - 1 点。不过在具体实现时，我们能够指定输出信号的点数。对于刚开始接触卷积的概念而言，我觉得无需纠结这些细节，只需明白卷积输出的长度并非等同于输入信号的长度即可。

2.4 硬件实现

从硬件角度，FIR 滤波器通过一系列延迟器、乘法器和加法器实现，其结构如下：

其中，乘法器所采用的系数就是滤波器冲激响应的 “抽头”（Tap），并且乘法器的数量与抽头的数量相等。只要抽头数量足够多，它几乎可以实现任意类型的频率响应，这也正是数字滤波器的特点所在。

3. Python 实现 FIR 滤波器

3.1 FIR 滤波器设计

FIR 滤波器设计的核心任务是确定其 “抽头” 系数和长度。如今，有很多编程及仿真工具可帮助我们设计这些参数，如 MATLAB、 Python（SciPy 库）等。无论选用哪种工具，都有大致以下流程：

1. 确定期望保留或滤除的频率范围；
2. 确定滤波器类型，例如 FIR 滤波器或者 IIR 滤波器，算力消耗（如长度）；
3. 计算生成滤波器的抽头系数与长度；
4. 查看频率响应图，关注通带、阻带、过渡带、纹波以及相位等指标；
5. 生成一个带有噪声的信号，检验滤波器能否有效滤除目标频率成分。

本文将以 Python（SciPy 库） 为例，进行说明与演示 。

3.2 scipy.signal 及函数

Python 用于滤波器设计和运算的代码位于 scipy.signal 模块，其下有很多函数，这里我们挑选几个具有代表性的函数进行介绍 [4]：

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# Filter design
scipy.signal.firwin(): FIR filter design using the window method.
scipy.signal.firwin2(): Another FIR filter design using the window method.

# Filter review
scipy.signal.freqz(): Compute the frequency response of a digital filter.

# Filter opertion
scipy.signal.lfilter(): Filter data along one-dimension with an IIR or FIR filter.
scipy.signal.convolve(): Convolve two N-dimensional arrays.
scipy.signal.fftconvolve(): Convolve two N-dimensional arrays using FFT.

滤波器设计

主要有两个函数，第 1 个是 scipy.signal.firwin ，它最为直接，能为 FIR 滤波器生成抽头系数，使用时只需指定抽头数量和截止频率即可。第 2 个是 scipy.signal.firwin2 ，它更为灵活，适用于具有自定义频响曲线的滤波器，需要提供一个频率列表以及每个频率处期望的增益值。它们返回的结果均为一组抽头系数。

滤波器验证

使用 scipy.signal.freqz 计算滤波器的频率响应，接收的输入就是上述 FIR 滤波器的抽头系数，返回两个数组，一个是频率点，另一个是对应频率点上的复频率响应。如果对于复频率不了解，可以翻看一下前文的 FFT 介绍。利用这些结果，我们就可以绘制滤波器的频率响应。

滤波器运算

scipy.signal中的这三个函数各有特点。scipy.signal.lfilter 接收 FIR 滤波器的抽头系数，用于沿一维对数据进行滤波；scipy.signal.convolve 对两个 N 维的时域数组进行卷积操作；scipy.signal.fftconvolve 同样是对两个 N 维数组进行卷积，但它借助 FFT 实现，即 频域相乘，这样在处理大规模数据时运算速度更快。

有人做过运算速度的对比，对于输入是 10 万个样本的情况，滤波速度如下图所示[5]：

可以看到 scipy.signal.lfilter 很慢，np.convolve （来自于 NumPy）也很慢，scipy.signal.convolve 根据数据数量会自动切换为 scipy.signal.fftconvolve ，所以两者一样，但比 scipy.signal.lfilter 快很多，这就是 FFT 的优势！

3.3 FIR 滤波器案例

本案例主要基于 scipy.signal.firwin() 、 scipy.signal.freqz 、 scipy.signal.lfilter 等函数，更多高级用法请查阅 scipy.signal 模块。

代码中，首先构建了一个带有噪声的余弦输入信号，然后用 scipy.signal.firwin() 设计一个抽头长度为 74 、截止频率为 10 Hz 的 FIR 滤波器，再用 scipy.signal.freqz 绘制其频谱图，最后用 scipy.signal.lfilter 去噪，还原真实的余弦信号。

代码片段如下，运行于 Spyder 6 开发环境：

FIR 滤波器抽头系数，长度为 74 个：

FIR 滤波器频率响应：

输入信号 与 滤波后信号对比，滤波后信号有延迟，且有一段不确定的初始值：

代码托管地址见 4.4，可以下载运行。

4. 参考资料

4.1 引用出处

1. https://pyageng.mpastell.com/book/dsp.html
2. https://brianmcfee.net/dstbook-site/content/ch10-convtheorem/ConvolutionTheorem.html
3. https://www.embedded.com/introduction-to-digital-filters/
4. https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/signal.html
5. https://pysdr.org/content/filters.html

4.2 滤波器扩展阅读

• https://www.dspguide.com/ch6.htm
• https://brianmcfee.net/dstbook-site/content/ch10-convtheorem/intro.html
• https://pysdr.org/content/filters.html

4.3 相关前文

• Python 带你深入浅出 DFT / FFT，就是这么简单！
• 用 Python 开启数字信号处理之旅 —— 生成 Sine 波形

4.4 代码托管

• https://gitee.com/gilbertjuly/digital-signal-processing-code/tree/master/03_fir_filter

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